华附AP考试之高等微积分课本导读

时间:2022-12-09 23:36 作者:hth华体会全站app
本文摘要:新学期开始,华师附中AP国际部的同学已经早早地投入了紧张的学习中。特别地,到场高等微积分课程学习的同学已经密锣紧鼓地对微积分举行越发深入的学习。高等微积分课程对选修的同学有很高的要求,只有今年到场AP微积分并取得5分的同学才有时机选修这门课。而这门课的难度也是很是大的,否则也体现不出“高级”二字。

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新学期开始,华师附中AP国际部的同学已经早早地投入了紧张的学习中。特别地,到场高等微积分课程学习的同学已经密锣紧鼓地对微积分举行越发深入的学习。高等微积分课程对选修的同学有很高的要求,只有今年到场AP微积分并取得5分的同学才有时机选修这门课。而这门课的难度也是很是大的,否则也体现不出“高级”二字。

鉴于现在市面除了我们英美国际教育之外,尚无教育机构开设高级微积分的课程,为了利便华附AP的同学学习,同时也让其他对数学有兴趣的同学能够相识更深入一点的数学,我们英美国际教育国际课程中心的Jason博士特意分析了一下所用课本,并给出学习的建议。现在看看Jason博士怎么说:华附AP国际部开设了高等微积分的课程。

从“微积分”二字可以看出,它是微积分课程的延续;从“高等”二字就可以看出,其内容的深度和广度方面都是在微积分课程之上的。不仅是对学生,对老师来说也是个很大的挑战。

这也是为什么基本上没有哪个国际班/国际学校或者教育机构能够开设这门课。华附的高等微积分使用的课本是Mary L. Boas写的《Mathematical Methods in the Physical Sciences》(《物理中的数学方法》)。

从课本名称上看,似乎跟微积分扯不上关系。但随着我上微积分课程的同学,或者对微积分生长的历史有一定相识的同学都知道,Isaac Newton发现微积分,其实初衷是为相识决物理中的问题。

大家也知道Newton也是个物理学家。实际上物理中用到了许多数学,而微积分是个基础。

物理系的大学生在二年级(通常)也会修一门课叫《Methods of Mathematical Physics》(《数学物理方法》),而且大多数都要上两个学期。实际上,有些数学模型及数学思想是泉源于物理。而这些数学,是大学理工科的基础,对于物理、化学、工程技术等学科有着重要的作用。

这也许就是使用这本书作为高等微积分的课本的原因。先来看看课本目录1 Infinite Series, Power Series2 Complex Numbers3 Linear Algebra4 Partial Differentiation5 Multiple Integrals6 Vector Analysis7 Fourier Series and Transforms8 Ordinary Differential Equations9 Calculus of Variations10 Tensor Analysis11 Special Functions12 Series solutions of Differential Equations; Legendre, Bessel, Hermite, and Laguerre Functions13 Partial Differential Equations14 Functions of a Complex Variable15 Probability and Statistics从课本内容上看,涉及大多是大学一二年级的数学课程,同时也跟AP微积分有密切的联系。

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第1章跟AP微积分的级数部门内容比力类似。第4、5、6章是多变量微积分的内容,在AP中没有涉及到,但其基本思想与单变量微积分是类似的。而第5章还涉及到一些场论的知识。第11章特殊函数,实际上是广义积分的延伸,更详细地,是含参变量的广义积分。

学习这部门知识点之前要保证AP课程的内容和方法要熟练,一定要一直保持在AP稳拿5分的状态。我一直都像唐僧一样说,微积分的焦点思考是极限,不管是AP微积分还是高等微积分,都是如此。因此要学会抓住极限这一主线,抓住这一本质,用它来指导学习。举个例子,用multiple integral(重积分)盘算曲面下方的体积,其思想和用定积分盘算曲线下方面积都是一样的,都是分而治之(听过我课的应该知道这四个字的意思了)。

第8章常微分方程,第12章常微分方程的级数解,以及第13章偏微分方程,都可以归到微分方程这一大模块。在AP中也有涉及,但在AP中只涉及常微分方程,详细来说就是变量分散的一阶微分方程,而没有涉及二阶方程,非齐次方程,以及积分变换法,更没有涉及偏微分方程。

大学数学专业是把常微分方程和偏微分方程单独设一门课的,课本常微分方程的某些知识点实际上已经超出某些大学非数学理工专业的规模了。这部门内容可以看作是AP课程内容的延伸。第8章先容了二阶微分方程,非齐次方程,Laplace变换等方法,同时又先容了Dirac d函数和Green函数方法,这都是同学们从未接触过的。

12章就是讲用级数方法来解常微分方程,而由差别的方程获得的差别的级数解就界说出了Legendre函数,Bessel函数等新的函数。13章偏微分方程则可看成是常微分方程的延伸。对于第2章复数和第14章复变函数,对于许多同学来说是个新的内容。这两部门内容在大学数学专业可以单独开一门课,叫《Function of Complex Variables》(《复变函数》)。

虽然华附的同学也有学普通高中的课程,在选修系列中接触过复数,但都是一些很皮毛的知识,还无法跟高等微积分课程相比。先说说第2章复数,这是实数域的推广。

有人说复数也是物理学家引入的,但我也没有去考证这个说法正确与否。不外要认可,复数的泛起,推动了物理学的生长,这里我不深入讨论了。

学习复数要注意,不要把实数的运算纪律硬生生搬到复数中。同时第2章后面会涉及复级数及由复级数界说的函数,这时要联合第1章级数的知识了。第14章是在第2章的基础上更深入研究复值函数的性质,其中还涉及到一种看起来很奇怪的幂级数,叫Laurent级数,从Laurent级数又引出一个重要的观点叫residue(留数) 及residue theorem(留数定理),所以还得对级数和复级数的知识点很是熟悉才气很好掌握这部门知识。再看看第3章,线性代数。

在大学,这也是单独的一门数学课。线性代数主要研究矩阵的性质和运算纪律。线性代数也可以跟高维空间联系起来,所以也比力抽象。不外,幸好这部门内容在课本当中不算太难,只是有时候盘算历程比力庞大,小心不要算错就行。

第7章是Fourier级数和Fourier变换。Fourier级数虽然有“级数”二字,但学起来感受跟第1章级数很纷歧样,原因也很简朴,第一章讲的是幂级数,相当于无穷阶多项式;但Fourier级数每一项都是三角函数,而三角函数的性质与幂函数的性质有很大的区别。

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Fourier变换可以看作是Fourier级数的一种极限性质。学习历程要搞清楚其原理,联合详细的物理应用来明白Fourier级数和Fourier变换的焦点思想,就不难掌握。第9章是变分原理,这部门数学不算庞大,可是许多同学明白起来有难题。

原因是它引入了一个全新的观点:Functional(泛函)。学习的时候如果搞清楚函数与泛函之间的区别,就知道variation(变分)实际上是泛函中的“导数”,这样就不难明白Lagrange方程了。

第10章也许是最难的一章,因为张量的观点很是抽象,而且盘算也很是庞大。同学们只要明白张量的观点,最焦点的思想其实是很简朴的。张量是广义上的向量,也就是说向量也是向量的一种,或者说向量是一阶张量。而向量的表现通常都是用给定坐标的分量来表现的,而在差别坐标系下向量的分量是纷歧样的,但会满足一定的变换规则。

张量也是一样。所以要搞清楚张量的各分量的变换纪律。第15章是概率统计,修AP统计的同学也应该比力清楚,难度也没有AP统计学那么难,所以在这我就不烦琐了。

从上面的先容可以看出,华附的高等微积分涉及知识点很是广,而且有一定深度。课本前言一开始有这么一句话:This book is particularly intended for the student with a year (or a year and a half) of calculus who wants to develop, in a short time, a basic competence in each of the many areas of mathematics needed in junior to senior-graduate courses in physics, chemistry, and engineering. Thus it is intended to be accessible to sophomores (or freshmen with AP calculus from high school).因此要学好这门课,要支付比AP微积分更多的努力。也希望本文能给大家带来资助。


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